【Учебник PEP】Математика, 7 класс, 1-е полугодие: Логический переход от «чисел» к «выражениям»

В начальной школе мы учились обозначать числа буквами и знаем, что буквы или выражения, содержащие буквы, могут обозначать числа и количественные отношения. Переход от конкретных вычислений с числами к выражению закономерностей с помощью букв — это великий скачок в математическом мышлении.

Зачем нужен такой переход?

На Цинхай-Тибетской железной дороге поезд движется по участку с вечной мерзлотой со скоростью $v \text{ км/ч}$. Если мы вычислим путь для конкретного времени:

Путь за $2\text{ ч}$ составляет $2v \text{ км}$
Путь за $3\text{ ч}$ составляет $3v \text{ км}$
Когда мы обозначаем время через $t$, путь равен $vt$.

В этом и заключается сила математики:Введение буквы $t$ позволило нам перейти от вычисления «пути за определённое время» к описанию «общей закономерности между произвольным временем и путём». Буквы обозначают числа и, как и числа, могут участвовать в вычислениях — с помощью выражений можно кратко записать количественные отношения.

Переход от «статичных чисел» к «динамичным выражениям» — это когнитивная основа для последующего изучения действий с целыми выражениями и моделирования функций. Он позволяет решать не только одну задачу, но и целый класс задач.

ВОПРОС 1

В примере с Цинхай-Тибетской железной дорогой, если скорость поезда $100\text{ км/ч}$, каков путь за $t\text{ ч}$?

$100 + t$

$100/t$

$100t$

$t/100$

ВОПРОС 2

Какое из следующих утверждений о «записи чисел буквами» неверно?

Буквы могут участвовать в вычислениях так же, как числа

Буквы могут обозначать только положительные числа

Буквы позволяют кратко записывать количественные отношения

Буквы могут выражать законы действий (например, $a+b=b+a$)

ВОПРОС 3

Товар стоит $4.8$ юаня за упаковку; за месяц продано $m$ упаковок. Как выразить общий доход?

$4.8 + m$ юаней

$4.8m$ юаней

$m/4.8$ юаней

$4.8^m$ юаней

ВОПРОС 4

Каков коэффициент одночлена $-a^2h$?

$0$

$1$

$-1$

$a$

ВОПРОС 5

Какова степень одночлена $\f\frac{2}{3}\pi r^3$?

$3$

$4$

$2$

$1$

ВОПРОС 6

Каков результат вычисления $100t - 252t$?

$152t$

$-152t$

$-352t$

$-152$

ВОПРОС 7

У двузначного числа цифра единиц равна $a$, а цифра десятков равна $b$. Как записать это двузначное число?

$ab$

$a + b$

$10b + a$

$10a + b$

ВОПРОС 8

В какой из следующих пар одночленов они являются подобными членами?

$x^2y$ и $xy^2$

$3ab$ и $-ba$

$a^2$ и $b^2$

$2x$ и $2$

ВОПРОС 9

Раскройте скобки: $-5(1 - \f\frac{1}{5}x) = $

$-5 - x$

$-5 + x$

$5 - x$

$-5 + \f\frac{1}{5}x$

ВОПРОС 10

Согласно классификации рациональных чисел, к какой из следующих групп относится $0$?

Положительные числа

Отрицательные числа

Целые числа

Дробные числа

Вызов логического перехода: от классификации к моделированию

Комплексное применение рациональных чисел и алгебраических выражений

Прежде чем изучать целые выражения, мы должны чётко классифицировать «числа» и уметь гибко использовать «выражения» для описания динамических процессов. Выполните следующие задания повышенного уровня.

Задание 1

Распределите следующие рациональные числа по соответствующим категориям: $15, -\f\frac{3}{8}, 0, 0.15, -30, -12.8, \f\frac{22}{5}, +20, -60$.

Результат классификации:

Положительные числа: $\{15, 0.15, \f\frac{22}{5}, +20, \dots\}$
Отрицательные числа: $\{-\f\frac{3}{8}, -30, -12.8, -60, \dots\}$
Целые числа: $\{15, 0, -30, +20, -60, \dots\}$
Дробные числа: $\{-\f\frac{3}{8}, 0.15, -12.8, \f\frac{22}{5}, \dots\}$

Ключевой момент:Обратите внимание на особенность $0$: оно не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам, но является целым числом.

Задание 2

Продолжение примера с Цинхай-Тибетской железной дорогой: пусть скорость поезда на участке с вечной мерзлотой равна $100\text{ км/ч}$, а на участке без вечной мерзлоты — $120\text{ км/ч}$. Поезд движется по участку с вечной мерзлотой $t\text{ ч}$, а по участку без вечной мерзлоты — на $0.5\text{ ч}$ дольше. Составьте выражение для разности путей, пройденных по участку без вечной мерзлоты и по участку с вечной мерзлотой, и упростите его.

Шаги решения:
1. Путь по участку с вечной мерзлотой: $100t$ км.
2. Время движения по участку без вечной мерзлоты: $(t + 0.5)$ ч.
3. Путь по участку без вечной мерзлоты: $120(t + 0.5)$ км.
4. Разность путей: $120(t + 0.5) - 100t$.
5. Упрощение: $120t + 60 - 100t = 20t + 60$ км.
Вывод:По участку без вечной мерзлоты поезд проходит на $(20t + 60)$ км больше, чем по участку с вечной мерзлотой. Это показывает, как с помощью выражений с буквами кратко описывать сложные зависимости.

✨ Ключевые моменты

Буквы — для чиселсила велика,Конкретное — в абстрактноешагни смело.Законы действийработают всегда,Тысячи законов— одно выражение!

💡 Буква — это «обобщённое число»

Не воспринимайте букву как простой символ: она обладает всеми свойствами числа и подчиняется тем же переместительному, сочетательному и распределительному законам.

💡 Правила сокращённой записи

В алгебраических выражениях при умножении числа на букву или буквы на букву знак умножения обычно заменяют на «·» или опускают; число принято записывать перед буквой.

💡 «Светофор» при раскрытии скобок

Если перед скобкой стоит «+», это как зелёный свет — идём дальше (знаки не меняются); если «-» — как красный свет, нужно остановиться и сменить направление (знаки всех слагаемых меняются).

💡 Различайте постоянные и переменные

В $vt$: если $v$ — постоянная скорость, то это константа, а $t$, изменяющееся со временем, — переменная. Понимание такой динамики — суть алгебры.

💡 Моделирование в повседневной жизни

Попробуйте описывать окружающие закономерности с помощью букв — например, «сумма внутренних углов $n$-угольника» или «цена билета со скидкой» — и вы увидите, насколько универсальной становится математика.